Câu hỏi: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = (1/x)·ln x với mọi x ∈ (0; +∞).
- A. (1/2)·ln x + C
- B. −1/x³ + C
- C. (1/2)·ln²x + C
- D. ln²x + C
Đáp án đúng là C. (1/2)·ln²x + C. Vì đạo hàm của ln x đúng bằng 1/x, biểu thức (1/x)·ln x có dạng u·u′, nên nguyên hàm 1/x ln x được tính gọn bằng phép đổi biến u = ln x, cho kết quả (1/2)·ln²x cộng hằng số C.
Vì sao đáp án C đúng
Chìa khóa nằm ở chỗ ln x và 1/x là một cặp “hàm – đạo hàm”: (ln x)′ = 1/x với mọi x > 0. Vì vậy biểu thức dưới dấu nguyên hàm chính là u·u′ với u = ln x.
- Đặt u = ln x, khi đó vi phân du = (1/x)dx.
- Thay vào: ∫(1/x)·ln x dx = ∫u du.
- Nguyên hàm cơ bản: ∫u du = u²/2 + C.
- Đổi lại biến: (1/2)·u² + C = (1/2)·ln²x + C.
Kết quả này còn kiểm tra được ngay bằng cách lấy đạo hàm: [(1/2)·ln²x]′ = (1/2)·2·ln x·(1/x) = (ln x)/x, đúng bằng f(x). Điều kiện x ∈ (0; +∞) bảo đảm cả ln x lẫn 1/x đều xác định, nên không cần xét dấu giá trị tuyệt đối.
Có thể đi theo hướng tích phân từng phần với u = ln x và dv = (1/x)dx, suy ra du = (1/x)dx và v = ln x. Khi đó ∫(1/x)·ln x dx = ln²x − ∫(1/x)·ln x dx, tức 2∫(1/x)·ln x dx = ln²x, hay ∫(1/x)·ln x dx = (1/2)·ln²x + C. Hai cách cho cùng một họ nguyên hàm, chỉ khác nhau ở lối tiếp cận.
Vì sao các phương án còn lại sai
Phép thử nhanh nhất là lấy đạo hàm phương án rồi so với f(x) = (ln x)/x. Chỉ phương án C khớp.
- A. (1/2)·ln x + C: đạo hàm bằng 1/(2x), hoàn toàn không có nhân tử ln x. Phương án này hấp dẫn vì xuất phát từ công thức (ln x)′ = 1/x, nhưng đã bỏ mất việc nhân thêm ln x.
- B. −1/x³ + C: đạo hàm bằng 3/x⁴, không liên quan gì tới ln x. Đây là kết quả kiểu áp công thức nguyên hàm lũy thừa ∫x^n dx cho số mũ âm, dùng nhầm hàm.
- D. ln²x + C: đạo hàm bằng 2(ln x)/x, lớn gấp đôi f(x). Đây là phương án dễ nhầm nhất vì đúng “dạng” ln²x, chỉ thiếu hệ số 1/2 — hệ số này sinh ra từ ∫u du = u²/2.
Hệ thống kiến thức liên quan
Dạng bài này nằm trong nhóm nguyên hàm tính bằng đổi biến, nên cần nắm chắc bốn mảng sau.
- Định nghĩa: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng K nếu F′(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ sai khác một hằng số, nên kết quả luôn là một họ kèm + C.
- Cặp hàm – đạo hàm cần nhớ: (ln x)′ = 1/x; (1/x)′ = −1/x²; (e^x)′ = e^x; (sin x)′ = cos x. Chính cặp đầu tiên biến bài toán thành dạng ∫u du.
- Đổi biến: ∫f(u(x))·u′(x)dx = ∫f(u)du. Dấu hiệu nhận biết là trong biểu thức có một thừa số đúng bằng đạo hàm của phần còn lại.
- Từng phần: ∫u dv = u·v − ∫v du, dùng khi biểu thức là tích của hai loại hàm khác nhau (đa thức với ln, đa thức với e^x, e^x với sin/cos).
Từ kết quả trên suy ra công thức tổng quát: ∫ln^n x·(1/x)dx = ln^(n+1)x/(n+1) + C với n ≠ −1. Đây là họ nguyên hàm của 1/x nhân lũy thừa ln x, có cùng bản chất với bài đang xét (ứng với n = 1).
Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh
Thấy tích của ln x với 1/x thì nghĩ ngay tới việc gộp cả cụm thành một biến mới: đặt u = ln x, bài toán tụt về ∫u du. Nhớ mẫu số của công thức ∫u^n du = u^(n+1)/(n+1) để không quên chia 2 — đây chính là lỗi khiến nhiều bạn chọn D.
Khi phân vân, hãy lấy đạo hàm phương án: nếu ra đúng (ln x)/x thì đó là đáp án. Cách kiểm tra ngược này dùng được cho mọi câu hỏi trắc nghiệm về họ nguyên hàm, kể cả khi không nhớ nổi phương pháp giải.
