Câu hỏi: Cho các số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện (a+2)(b+2) = 8. Tính giá trị của biểu thức P = ab + 2√(a² + b² + 8 − √(2(a²+4)(b²+4))).
Đáp án đúng là 4. Với điều kiện (a+2)(b+2) = 8, khai triển giả thiết cho ab + 2(a+b) = 4; khi đó toàn bộ phần căn thức rút gọn thành (a+b)², nên P = ab + 2(a+b) = 4, một hằng số không phụ thuộc vào cách chọn a, b.
Vì sao đáp án đúng là 4
Điểm mấu chốt là biểu thức P đối xứng với a và b, nên chỉ cần đưa nó về hai đại lượng ab và a+b. Điều kiện đề cho cũng viết được theo đúng hai đại lượng đó, nên bài toán “khóa” được giá trị của P.
- Khai triển giả thiết: (a+2)(b+2) = 8 ⇔ ab + 2a + 2b + 4 = 8 ⇔ ab + 2(a+b) = 4 (1).
- Xử lý căn thức lớn: (a²+4)(b²+4) = a²b² + 4a² + 4b² + 16, suy ra 2(a²+4)(b²+4) = 2a²b² + 8a² + 8b² + 32. Ta chứng minh √(2(a²+4)(b²+4)) = 8 − 2ab bằng cách bình phương hai vế, tức cần 2a²b² + 8a² + 8b² + 32 = (8 − 2ab)² = 4a²b² − 32ab + 64.
- Hiệu hai vế bằng 2a²b² − 32ab + 32 − 8(a²+b²). Từ (1) có a+b = (4 − ab)/2, nên a² + b² = (a+b)² − 2ab = (4 − ab)²/4 − 2ab, do đó 8(a²+b²) = 2(16 − 8ab + a²b²) − 16ab = 32 − 32ab + 2a²b². Thay vào, hiệu trên đúng bằng 0. Đẳng thức đã được chứng minh.
- Vế phải 8 − 2ab không âm vì từ (1), ab ≤ 4 (do a+b ≥ 0), nên 8 − 2ab ≥ 0 — điều kiện để phép lấy căn và bước bình phương hợp lệ.
- Thay vào P: phần trong căn lớn bằng a² + b² + 8 − (8 − 2ab) = a² + 2ab + b² = (a+b)². Vậy P = ab + 2√((a+b)²) = ab + 2(a+b) = 4 theo (1).
Kiểm tra bằng một cặp giá trị cụ thể: lấy a = 0 thì 2(b+2) = 8 ⇒ b = 2. Khi đó P = 0 + 2√(0 + 4 + 8 − √(2·4·8)) = 2√(12 − 8) = 2·2 = 4. Cặp a = 2, b = 0 cho kết quả tương tự. Kết quả này khớp với chứng minh tổng quát ở trên: P không đổi trên toàn bộ miền nghiệm.
Những giá trị thử dễ dùng nhầm
Sai lầm thường gặp là thay một cặp số “đẹp” mà không kiểm tra điều kiện (a+2)(b+2) = 8. Chẳng hạn a = b = 1 cho (1+2)(1+2) = 9 ≠ 8; a = b = 2 cho 4·4 = 16 ≠ 8. Cả hai đều không nằm trong miền nghiệm.
Nếu vẫn thay a = b = 1 vào P, ta được ab = 1, a² + b² + 8 = 10, 2(a²+4)(b²+4) = 50, nên P = 1 + 2√(10 − √50) ≈ 1 + 2·1,71 ≈ 4,42 — khác 4. Con số lệch này là phản ví dụ cho thấy việc thử giá trị chỉ có giá trị kiểm tra khi giá trị đó thỏa mãn giả thiết. Tương tự, cặp (a; b) = (2; 2) hay (0; 0) đều vi phạm điều kiện và không dùng được.
Một điểm dễ nhầm thứ hai là coi P phụ thuộc a, b rồi cố tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Thực chất P là hằng số bằng 4 trên toàn miền nghiệm, nên mọi cặp (a; b) không âm thỏa (a+2)(b+2) = 8 đều cho cùng một đáp số.
Hệ thống kiến thức liên quan
Bài toán xoay quanh hai công cụ: hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ thuật đổi biến cho biểu thức đối xứng. Nắm chắc hai công cụ này là đủ để xử lý cả họ bài tương tự.
- Hằng đẳng thức: (a+b)² = a² + 2ab + b², suy ra a² + b² = (a+b)² − 2ab; và (a²+4)(b²+4) = a²b² + 4a² + 4b² + 16.
- Đổi biến đối xứng: đặt p = ab, s = a+b. Điều kiện đề bài trở thành p + 2s = 4, còn P trở thành p + 2√(s² − 2p + 8 − √(2p² + 8s² − 16p + 32)). Mọi biểu thức đối xứng với a, b đều viết được theo p và s.
- Miền giá trị của a, b: vì a, b ≥ 0 nên b + 2 ≥ 2, suy ra a + 2 ≤ 4, tức 0 ≤ a ≤ 2; tương tự 0 ≤ b ≤ 2. Điều kiện không âm thu hẹp miền nghiệm và đảm bảo các biểu thức dưới căn không âm.
- Phép bình phương hai vế: chỉ tương đương khi cả hai vế không âm. Ở đây vế 8 − 2ab ≥ 0 nhờ ab ≤ 4, nên bước bình phương hợp lệ — đây là chi tiết nhiều lời giải bỏ qua.
Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện dạng bài
Thấy giả thiết dạng tích (a + m)(b + m) = hằng số thì khai triển ngay để tìm hệ thức giữa ab và a+b — đó là chìa khóa. Với (a+2)(b+2) = 8, hệ thức gọn là ab + 2(a+b) = 4.
Thấy biểu thức đối xứng với a, b thì nghĩ đến việc đặt p = ab, s = a+b; biểu thức chứa a² + b² sẽ tự chuyển thành s² − 2p. Còn khi gặp căn dạng √(2(a²+k²)(b²+k²)), hãy thử xem nó có bằng một biểu thức bậc hai đơn giản nào đó — ở bài này là 8 − 2ab — bằng cách bình phương và dùng giả thiết để triệt tiêu.
Cuối cùng, nếu chọn cách thử giá trị, phải chọn cặp thỏa mãn giả thiết (như (0; 2) hoặc (2; 0)) và nêu rõ đây chỉ là bước kiểm tra; muốn khẳng định P là hằng số thì cần lập luận tổng quát như trên.
