Câu hỏi: Chứng minh các tứ giác sau là hình bình hành. Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Từ A và C kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K ∈ BD). Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại H, K. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành. Bài 3. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD và AB = 1/2 CD. Gọi E là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
Đáp án đúng là: cả bốn tứ giác AHCK, EKFH, ABED và ABCE đều là hình bình hành. Mấu chốt của cách chứng minh hình bình hành là chọn dấu hiệu nhận biết khớp với giả thiết: bài 1 dùng một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, bài 2 dùng hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, bài 3 cũng dùng cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Lời giải chi tiết ba bài
Cả ba bài đều đi theo một trình tự: khai thác giả thiết để tìm ra yếu tố song song hoặc bằng nhau, rồi đối chiếu với đúng một dấu hiệu nhận biết. Dưới đây là từng bước.
Bài 1: Tứ giác AHCK là hình bình hành
- Vì AH ⊥ BD và CK ⊥ BD nên AH ∥ CK (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).
- Xét hai tam giác vuông ABH và CDK: AB = CD (do ABCD là hình bình hành), góc ABH = góc CDK (AB ∥ CD, so le trong). Suy ra ΔABH = ΔCDK (cạnh huyền – góc nhọn), do đó AH = CK.
- Tứ giác AHCK có AH ∥ CK và AH = CK, tức có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, nên AHCK là hình bình hành.
Điểm cần lưu ý: cặp cạnh đối ở đây là AH và CK — hai đường cao hạ từ hai đỉnh đối diện A và C xuống cùng đường chéo BD, chứ không phải cặp cạnh AB, CD đã biết từ đầu.
Bài 2: Tứ giác EKFH là hình bình hành
- Vì ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD, tức OA = OC và OB = OD.
- Xét ΔOAE và ΔOCF: góc AOE = góc COF (hai góc đối đỉnh); OA = OC (chứng minh trên); góc OAE = góc OCF (AD ∥ BC, so le trong). Suy ra ΔOAE = ΔOCF (g.c.g), do đó OE = OF, hay O là trung điểm của EF.
- Chứng minh tương tự với ΔOBH và ΔODK (OB = OD; góc BOH = góc DOK đối đỉnh; góc OBH = góc ODK do AB ∥ CD, so le trong), suy ra OH = OK, hay O là trung điểm của HK.
- Tứ giác EKFH có hai đường chéo EF và HK cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường, nên EKFH là hình bình hành.
Lưu ý về thứ tự đỉnh: tứ giác là EKFH nên hai đường chéo của nó đúng là EF và HK. Nếu đọc nhầm thành EF và FK sẽ không còn cặp đường chéo nào để kết luận.
Bài 3: Hai tứ giác ABED và ABCE
a) ABED là hình bình hành.
- Vì E là trung điểm của CD nên DE = CE = 1/2 CD. Theo giả thiết AB = 1/2 CD, suy ra AB = DE.
- AB ∥ CD (ABCD là hình thang) mà E ∈ CD nên AB ∥ DE.
- Tứ giác ABED có AB ∥ DE và AB = DE, tức có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABED là hình bình hành.
b) ABCE là hình bình hành.
- Tương tự, CE = 1/2 CD = AB.
- AB ∥ CE vì AB ∥ CD và E ∈ CD.
- Tứ giác ABCE có AB ∥ CE và AB = CE, nên ABCE là hình bình hành.
Năm dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Một tứ giác là hình bình hành khi thỏa mãn một trong năm điều kiện sau; chỉ cần đúng một điều kiện là đủ, không cần kiểm tra cả năm.
- Các cạnh đối song song với nhau (đây cũng là định nghĩa).
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Kèm theo đó là các tính chất dùng để khai thác giả thiết: trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, và giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.
Lỗi thường gặp khi làm dạng bài này
Lỗi phổ biến nhất là kết luận quá sớm từ một dữ kiện chưa đủ mạnh. Một tứ giác chỉ có một cặp cạnh đối song song thì mới là hình thang, chưa phải hình bình hành. Tương tự, “hai cạnh bên bằng nhau” không đủ: hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình bình hành, vì cặp cạnh bằng nhau đó không phải cặp cạnh đối. Cũng cần phân biệt “có hai đường chéo bằng nhau” (tính chất của hình chữ nhật, hình thang cân) với “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” (dấu hiệu của hình bình hành).
Lỗi thứ hai là dùng dữ kiện chưa được chứng minh. Ở bài 1, việc AH = CK phải suy ra từ hai tam giác vuông bằng nhau, không được mặc định vì “nhìn bằng nhau”. Ở bài 2, OE = OF và OH = OK cũng phải chứng minh qua các cặp tam giác bằng nhau, không được viết ngay “do O là trung điểm của EF”.
Mẹo nhận diện nhanh dạng bài chứng minh hình bình hành
Hãy đọc giả thiết và chọn dấu hiệu theo tín hiệu nhận được. Nếu đề cho sẵn một cặp cạnh song song kèm độ dài bằng nhau (như bài 3), đi thẳng vào dấu hiệu “một cặp cạnh đối song song và bằng nhau”. Nếu đề xoay quanh giao điểm hai đường chéo hoặc trung điểm các đoạn (như bài 2), nghĩ ngay tới dấu hiệu “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Nếu đề cho các đường vuông góc cùng hạ xuống một đường thẳng (như bài 1), tận dụng ngay tính song song do cùng vuông góc, rồi bổ sung một phép bằng nhau của hai tam giác để đủ điều kiện. Ghi nhớ ngắn: song song đã có thì tìm thêm bằng nhau; trung điểm đã có thì ghép thành hai đường chéo.
