Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BD.
- A. 90°.
- B. 30°.
- C. 60°.
- D. 45°.
Đáp án đúng là C. 60°. Trong tứ diện đều ABCD, mọi cạnh bằng nhau nên tam giác ABD là tam giác đều; góc giữa hai đường thẳng AB và BD chính là góc ABD của tam giác đều này, tức 60°.
Vì sao đáp án 60° đúng
Điểm mấu chốt nằm ở định nghĩa tứ diện đều: cả bốn mặt đều là tam giác đều và sáu cạnh đều có độ dài bằng nhau. Xét riêng mặt ABD — một trong bốn mặt của tứ diện — ta có AB = BD = DA, nên ABD là tam giác đều.
Góc giữa hai đường thẳng AB và BD được xác định bởi hai cạnh chung điểm B, nên đúng bằng góc ABD. Trong tam giác đều, ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng 180° : 3 = 60°. Vậy góc cần tìm là 60°.
Cần phân biệt: góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°, còn góc ABD trong tam giác đều bằng 60° — vừa nằm trong khoảng đó, vừa là góc nhọn nên không phải lấy phần bù 180° − 60° = 120°. Đây là lý do kết quả giữ nguyên 60° chứ không đổi thành 120°.
Vì sao các phương án còn lại sai
Phương án A. 90° là phương án dễ nhầm nhất. Nhiều bạn nghĩ hai đường thẳng trong không gian thường “vuông góc” với nhau, hoặc lẫn sang tính chất của tứ diện vuông (tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc). Nhưng tứ diện đều không có cặp cạnh nào vuông góc tại một đỉnh: nếu AB ⊥ BD thì tam giác ABD vuông tại B, khi đó cạnh huyền AD sẽ dài hơn AB — mâu thuẫn với việc AB = AD.
Phương án B. 30° thường xuất hiện khi tính nhầm nửa của góc 60°, hoặc nhầm với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong một số cấu hình khác. Với tam giác đều ABD, góc tại B đúng bằng 60°, không có phép chia đôi nào ở đây vì đề không nhắc tới đường trung tuyến hay phân giác.
Phương án D. 45° là kết quả của việc áp nhầm công thức góc trong tam giác vuông cân. Tam giác ABD đều nên không có góc 45°; nếu góc B bằng 45° thì tam giác sẽ không còn đều vì tổng ba góc phải bằng 180° và ba cạnh không thể bằng nhau.
Hệ thống kiến thức về tứ diện đều
Tứ diện đều là hình chóp tam giác có bốn mặt là bốn tam giác đều giống hệt nhau. Từ định nghĩa này suy ra một loạt tính chất thường dùng khi giải bài:
- Sáu cạnh bằng nhau; bốn mặt là tam giác đều; ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh tạo với nhau góc 60°.
- Góc giữa hai cạnh bất kỳ chung một đỉnh luôn bằng 60°; góc giữa hai cạnh đối diện (không chung đỉnh, ví dụ AB và CD) bằng 90°.
- Hình chiếu của một đỉnh xuống mặt đối diện là tâm của tam giác đều đó (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau).
- Các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau; đoạn nối trung điểm hai cạnh đối diện vuông góc với cả hai cạnh đó.
Những tính chất này giúp tránh nhầm lẫn: câu hỏi về hai cạnh chung đỉnh cho 60°, còn câu hỏi về hai cạnh đối diện cho 90°. Đây cũng là dạng bài quen thuộc trong chương trình hình học không gian lớp 11.
Mẹo nhận diện nhanh dạng câu hỏi này
Khi đề cho tứ diện đều và hỏi góc giữa hai đường thẳng, hãy xác định trước hai cạnh đó có chung đỉnh hay không. Nếu chung đỉnh, góc bằng 60° vì chúng là hai cạnh của một tam giác đều. Nếu là hai cạnh đối diện, góc bằng 90°. Cách kiểm tra nhanh: vẽ riêng mặt phẳng chứa hai cạnh chung đỉnh, nhận ra ngay đó là tam giác đều và đọc góc 60° mà không cần tính toán.
