Câu hỏi: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là G(t) = 45t² − t³. Nếu xem G'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ bao nhiêu?
- A. 25
- B. 30
- C. 20
- D. 15
Đáp án đúng là D. 15. Tốc độ truyền bệnh là G'(t) = 90t − 3t², một parabol bề lõm quay xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh t = 15. Đây là bài toán ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, không phải tìm ngày có số người nhiễm bệnh đông nhất.
Vì sao tốc độ truyền bệnh lớn nhất rơi vào ngày thứ 15
Muốn tìm ngày có tốc độ truyền bệnh lớn nhất, trước hết phải viết ra biểu thức của tốc độ, rồi đi tìm cực đại của chính biểu thức đó.
- Tính đạo hàm của G(t): G'(t) = (45t² − t³)’ = 90t − 3t². Đây là hàm bậc hai theo t, đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới vì hệ số của t² âm (−3).
- Tìm điểm tới hạn của G'(t) bằng cách lấy đạo hàm bậc hai và cho bằng 0: G”(t) = (90t − 3t²)’ = 90 − 6t; G”(t) = 0 ⇒ 90 − 6t = 0 ⇒ t = 15.
- Kiểm tra đó là cực đại: G”'(t) = −6 < 0. Đạo hàm G” giảm qua giá trị 0 khi t đi qua 15, tức G” đổi dấu từ dương sang âm, nên G'(t) tăng rồi giảm — đạt cực đại tại t = 15.
Có thể kiểm tra lại bằng cách biến đổi trực tiếp: G'(t) = 90t − 3t² = 675 − 3(t − 15)². Vì 3(t − 15)² ≥ 0 nên G'(t) ≤ 675, dấu bằng xảy ra đúng khi t = 15. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất là 675 người/ngày, vào ngày thứ 15 kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên.
Vì sao các phương án 25, 30, 20 đều không đúng
Ba phương án còn lại đều là những giá trị t có thật trong bài, nhưng không phải điểm đạt cực đại của G'(t). Thay trực tiếp vào tốc độ để so sánh là cách kiểm tra nhanh và chắc chắn nhất.
- A. 25: G'(25) = 90·25 − 3·25² = 2250 − 1875 = 375 người/ngày, nhỏ hơn 675. Đây là ngày tốc độ đã giảm khá sâu sau khi qua đỉnh dịch.
- B. 30: G'(30) = 2700 − 2700 = 0. Đây là phương án dễ nhầm nhất, vì t = 30 chính là nghiệm của G'(t) = 0, tức ngày mà số người nhiễm bệnh cộng dồn G(t) đạt lớn nhất. Đề hỏi tốc độ lớn nhất chứ không hỏi tổng số ca lớn nhất, nên đáp án không thể là 30.
- C. 20: G'(20) = 1800 − 1200 = 600 người/ngày, vẫn nhỏ hơn 675. Con số này gần với đáp án đúng nên dễ gây nhầm nếu chỉ ước lượng bằng mắt.
Hệ thống kiến thức liên quan
Bài toán này nằm ở phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, đồng thời chạm tới ý nghĩa vật lí của đạo hàm.
- Đạo hàm của hàm số biểu thị một đại lượng theo thời gian chính là tốc độ thay đổi của đại lượng đó: G(t) là số ca nhiễm, G'(t) là tốc độ truyền bệnh, G”(t) là tốc độ thay đổi của tốc độ truyền bệnh.
- Quy trình tìm giá trị lớn nhất của một hàm số: tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên hoặc dùng dấu đạo hàm cấp hai để kết luận cực đại. Ở đây hàm cần tìm cực trị là G'(t), nên phải tính đến đạo hàm bậc hai và bậc ba của G.
- Phân biệt hai câu hỏi khác nhau: “ngày có số người nhiễm nhiều nhất” ứng với G'(t) = 0; “ngày có tốc độ truyền bệnh lớn nhất” ứng với G”(t) = 0.
- Với dạng G(t) = at² − bt³ (a, b > 0), tốc độ G'(t) = 2at − 3bt² đạt cực đại tại t = a/(3b), còn G'(t) = 0 tại t = 2a/(3b). Nghĩa là ngày đạt tốc độ lớn nhất đúng bằng một nửa ngày đạt đỉnh dịch.
Mẹo nhận diện nhanh dạng câu hỏi tương tự
Đọc kỹ từ khóa về “tốc độ” hay “số lượng” trước khi bấm máy tính, vì chỉ khác nhau một chữ là đổi cả hướng giải.
- Đề cho hàm số lượng (số ca, số người, số sản phẩm) và hỏi tốc độ: tính đạo hàm bậc nhất, rồi tìm cực đại của đạo hàm bằng cách giải đạo hàm bậc hai bằng 0.
- Đề hỏi số lượng lớn nhất: chỉ cần giải đạo hàm bậc nhất bằng 0, không cần đạo hàm bậc hai.
- Kiểm tra lại bằng cách thế hai giá trị nghi ngờ vào biểu thức tốc độ; giá trị nào cho kết quả lớn hơn là đáp án.
- Với hàm bậc ba dạng 45t² − t³, nhớ cặp số 15 và 30: 15 là ngày tốc độ đạt đỉnh, 30 là ngày tổng số ca đạt đỉnh. Cặp đôi này là bẫy quen thuộc trong đề trắc nghiệm.
Chiếc đèn tròn treo bởi ba sợi dây: tính trọng lượng
Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng F₁, F₂, F₃ lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và |F₁| = |F₂| = |F₃| = 10. Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.
- A. 1000
- B. 10√3
- C. 30
- D. 10/√3
Đáp án đúng là B. 10√3. Chiếc đèn nằm cân bằng nên hợp lực của ba lực căng phải cân bằng với trọng lượng P; ba vector lực đôi một vuông góc nên bình phương độ lớn hợp lực bằng tổng bình phương ba độ lớn thành phần.
Trình bày theo ba bước:
- Điều kiện cân bằng: P = F₁ + F₂ + F₃ (tổng vector), tức trọng lượng có độ lớn bằng độ lớn hợp lực của ba lực căng.
- Vì F₁, F₂, F₃ đôi một vuông góc, áp dụng định lí Pythagore trong không gian: |P|² = |F₁|² + |F₂|² + |F₃|² = 10² + 10² + 10² = 300.
- Suy ra |P| = √300 = 10√3 ≈ 17,32.
Các phương án còn lại sai vì: A. 1000 là kết quả của phép tính sai (lấy 10³ thay vì 10² rồi cộng), không có cơ sở hình học nào; C. 30 là kết quả cộng ba độ lớn 10 + 10 + 10, chỉ đúng khi ba lực cùng phương cùng chiều, trong khi đề cho chúng đôi một vuông góc nên hợp lực luôn nhỏ hơn tổng độ lớn; D. 10/√3 là kết quả của phép chia cho √3 thay vì nhân, thường xuất phát từ việc nhầm công thức hình chiếu của lực lên phương thẳng đứng.
